Gráfica y noción intuitiva de límite

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE 
Considérese la función definida por: y=f(x)=(2x^2-x-1)/(x-1).
El único punto real en el cual f(x) no está definida es en x = 1; pero, en puntos tan cercanos a 1 
como se desee, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente 
pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?
En las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(x), cuando x se aproxima a 1 
por la izquierda (valores menores que 1) o por la derecha (valores mayores que 1). 
 
            
La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada  antes. Nótese que a medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin tomar el  valor de 1, los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: 
El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. 
La afirmación anterior se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas: 
f ( x ) → 3 cuando x →1 (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1). 
O también, (se lee: límite, cuando x tiende a 1, de f(x) es 3).
 
Gráficas de funciones

Mire la siguiente gráfica de la función f:

Por examinar la gráfica, deje nos intentar estimar limx→-2 f(x). Si estimaríamos el límite numéricamente, querríamos una tabla que demuestra lo que sucede con la coordenada-y cuando la coordenada-x se acerca a -2 desde ambos lados. Pues estamos estimando el límite gráficamente, usamos en cambio el siguiente procedimiento:

  1. Trace la gráfica de f(x) por mano o con tecnología, como una calculadora graficadora.

  2. Coloque la punta del lápiz (o el cursor "trace" de la calculadora graficadora) en un punto de la gráfica a la derecha de x = a.
    En el ejemplo aquí, queremos estimar limx→-2 f(x), de modo que a = -2. Entonces colocamos la punta del lápiz en un punto de la gráfica a la derecha de x = -2.

 

3.     Paso 3. Mueva la punta del lápiz a lo largo de la gráfica hacia x = a desde la derecha y lea la coordenada-y al avanzar. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es el límite lim x→a f(x).
En el ejemplo que estamos analizando, note que la coordenada-y se está acercando a 2 a medida que x se acerca a -2 por la derecha. (Pulse "Corre" bajo la gráfica para ver una animación de Paso 3.) Entonces, lim x→-2 f(x) = 2.  

4.   Paso 4. Repita Pasos 2 y 3, esta vez comenzando en un punto de gráfica a la izquierda de x = a, y acerque a x = a a lo largo de la gráfica desde la izquierda. El valor al que tiende la coordenada "y" (si lo hay) es

lim x→a f(x).
En el ejemplo que estamos analizando, la coordenada-y está otra vez acercándose a 2 a medida que x se acerca a -2 desde la izquierda. Entonces, lim x→-2 f(x) = 2.

5.   Paso 5. Si existen los límites derecho y izquierdo y tienen lo mismo valor L, entonces lim x→a f(x) existe y es igual a L.

En nuestro ejemplo, los límites derecho y izquierdo existen y son iguales a 2, entonces lim x→a f(x) = 2.